Алмазов — потомственный сотрудник КГБ: родился в семье сотрудника органов безопасности, окончил Минские высшие курсы КГБ СССР, работал на разных должностях в Управлениях КГБ по Горьковской и Новосибирской областям, в центральном аппарате КГБ в Москве. В 1991 году возглавил главное управление по борьбе с организованной преступностью и коррупцией Агентства федеральной безопасности РФ (сейчас — ФСБ), а потом перешел в только что соданную Федеральную службу налоговой полиции. Его уволили в 1999 году за то, что работа службы была признана «неудовлетворительной и явно не соответствующей уровню экономической преступности». До этого Алмазов заявлял, что его ведомство не может решить проблему собираемости налогов, пока в России «не будет экономического подъема».