Дроздов на госслужбе с 1989 года — сначала трудился в Минфине, а с 1999 года — в аппарате правительства. В 2008 году был назначен председателем правления Пенсионного фонда. В 2009 году его жена Ольга Демчинская стала владельцем участка на Рублевке, а спустя несколько месяцев, как выяснил Алексей Навальный, подарила недвижимость своей матери — и декларировать ее так и не пришлось. На Рублевке теща главы Пенсионного фонда соседствует с Борисом Ротенбергом.